無限大の不思議　その3　-無限小-

おひさしぶりの無限大です灰皿です。
シリーズ第3回ですよ。無限ファンの皆様お待たせしました。でも最初に言っちゃいます。失敗しました。今回のはツマンナイです。しかも気持ち悪いです。ごめんなさい。

今日も無限大のことをNと表現します。
さらに見覚えのない書き方を使います。分数の表現です。パソコンだと分数を書けないから、「2/3」みたいに書きます。2/3は「3分の2」です。

さてさて、その2で出した宿題がありましたね。「1÷N」はどうなるんでしょうか、という問題です。やってきましたか〜？やってませんね〜？（笑

今日はこれについて考えます。

割り算は分数で書けますよね。「2÷3＝2/3」ですね。なので分数で考えていきます。
でもいきなり「1/N」を考えても分からないので、少しずつ小さな数を作っていきましょう。

じゃあ、分子が1で分母も1の時をスタートラインにしましょうか。
　　　　1/1 = 1
ですね。
次に分母を10にしてみましょう。
　　　　1/10 = 0.1
ですね。
同じように分母を変えて行きましょう。
　　　　1/100 = 0.01
　　　　1/1000 = 0.001
　　　　1/10000 = 0.0001
　　　　1/100000 = 0.00001
　　　　1/1000000 = 0.000001
　　　　1/10000000 = 0.0000001
　　　　1/100000000 = 0.00000001
と続きますね。これをず〜〜〜〜っと繰り返すと「1/N」が見えてきそうじゃないですか？
分数計算の結果をじっと眺めてみましょう。小数点の次に続く0の数が増えて行ってますね。
ということは、1/Nは小数点以下に0が無限に続く数なんじゃないか、と予測出来ませんか？「ウソだぁ〜？」って思う人は、上で1分母を10倍していってるのを、2倍でも3倍でも好きな数だけ増やしていってみてください。必ず0が増えていきます。

そりゃそうですよね。分母(割る数）が大きくなるほど、答えは小さくなっていきますもんね。ていうことは小数点の次に続く0が増えていく、っていうことですよね。

小数点以下に0が無限に続く数って、
　　　　0.00000000000000000000000000000000000000…
ですよね。これ0じゃないですか？

これが答えです。
ダメ？ダメですよね。答えになってないっぽいですもんね。

ところが！

なんと、エレガントじゃないですが、それが正解なんです。
これを昔の数学家達は、「0に収束する」という言い方でごまかしちゃいました。しかもそのごまかしのおかげで、数学はガンガンと発展を続けていくのです。数学が発展することは物理を中心とする他の学問に影響を与えてきました。そして今の便利な科学の世界が成立しています。
「収束」するという考え方（計算方法と言ってもいい）を持ち込むことで、世界が安定するならそれでいいんじゃない？っていうラフなスタイルが数学を支えてるんですね（笑）ごまかしも悪くないもんですね。くさいものにフタをするのも有効なんですね。

という訳で、まとめます。答えを改めて書きます。

　　　　「1÷N＝0」

なんか不思議ですが、こう考えてみてはどうでしょうか？
1個のケーキをみんなで切り分けることにしました。最初は2人で食べようと思ってたんですよ。1/2ずつにしよう、と。
ところが後から後から「俺の分もくれ」って人が来ました。すると1/3、1/4、1/5、1/6、と、1人分の量が減っていきます。ものすご〜〜〜〜〜〜く人が増えちゃうと、あなたのケーキはほとんどゼロになっちゃいますね。気がつくとN人に分けることになって、あなたの分のケーキは1/Nです。食べたことにならないでしょ？だから1/Nは0に等しい、と。
これはごまかしですけどね。あなたの分のケーキは0に収束しちゃいましたよ、と（笑

最後に収束のマジックの例を書いてみましょうか。不思議ですよ。
たとえば次の式を考えてみましょう。

　　　　1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + (1/32) + (1/64) + …

分母がどんどん倍になっていく数字を足していくとどうなるのか？足し算は無限に続きます。なのにですよ、「正の数の足し算が無限に続く」のにですよ。

　　　　上の式の答えは「2」になります。

詳しい説明はいつか俺がするかもしれないし、待てない人は本屋の数学コーナーへGO。もしくは「幾何級数」をキーワードに検索してみてもいいかもしれません。

このように、数学の世界では、「無限に続く」行為の結果は正か負の無限に「拡散」しちゃうか、ある数に「収束」しちゃうかのどっちかになります。必ずなります。なるそうです。なるんですってよ。

はいはいスッキリしてませんね？それでいいんです！1/N=0なんてもんを「はいそうですか」とあっさり受け入れちゃうのは良くないと思います！

という訳で頭の中が混乱でいっぱいになりそうな無限シリーズ、不思議はまだ続きます。本当にこれは面白いのか！？

いつの日かその4へTO GO！